Hay una respuesta popular para la pregunta del título, típicamente dicha por estudiante de matemáticas o algunos profesores: las matemáticas son un juego, tiene reglas y haces las jugadas basándote exclusivamente en este reglas.

 

Por Yotas Trejos*

Nosotros no discutiremos realmente sobre la veracidad de esta frase, pero me gustaría aclararles algo a aquellos que en principio sienten un poco de incomodidad por las matemáticas mismas y cuando se les dice que son un juego dicen “¡bah!”. Creo que no se debe entender que un juego debe ser necesariamente divertido, de este modo excluiríamos muchos ejemplos de actividades que todos consideramos juegos. El parqués para mí no es más que una fuente de aburrimiento, pero no me atrevería a decir que no es un juego. Sin embargo, es cierto que durante mis siguientes entregas quisiera convencerlos a ustedes lectores de por qué son un juego, por qué importan y tal vez por qué no son aburridas. En este instante de la lectura es necesario que haga una solicitud: la comprensión de las actividades que propongo se obtiene solo participando de ellas y la lectura rápida sin un lápiz puede resultar insípida. Los juegos para comprenderlos -y disfrutarlos- hay que jugarlos.
Muchos en nuestra infancia solíamos jugar triqui. Después de jugarlo varias veces nos resultaba algo aburrido: pronto sabíamos que siempre se puede empatar. De hecho había una estrategia para el primer jugador que le aseguraba el empate o la victoria. Antes de contarles de esta estrategia, les recuerdo de qué trataba:
• El juego es para dos jugadores.
• Jugamos en una cuadrícula de 3×3.
• Cada jugador elige un símbolo que le corresponderá en todo el juego. Típicamente se eligen los símbolos X y O
• El jugador que tiene el símbolo X comienza primero.
• Cada jugador en el turno que le corresponde pondrá su símbolo en alguna de las casillas que no hayan sido ocupadas anteriormente por un símbolo propio o del contrincante.
• Gana el jugador que logre poner tres de sus símbolos en una misma fila, en una misma columna o en la misma diagonal.

 

Durante las clases de colegio era una buena manera de permanecer distraído, los estudiantes usaban lápiz y papel para jugar, y con una representación como la siguiente:

triqui1

 

Usando esta representación un juego típico donde comienza la X se verá como la siguiente:

triqui2

 

Donde el juego avanza de izquierda a derecha y de arriba a abajo. En esta partida ha ganado el símbolo O. El lector podrá ver que en esta partida las X no jugaron apropiadamente y cometieron un error fatal. Lo interesante de este juego se encuentra en su simpleza, después de que el lector juegue un rato en solitario, con un compañero o recuerde cuando lo jugaba de niño se dará cuenta que quien elija el símbolo X -el primero en comenzar- tiene una inmensa ventaja. ¿Puede el lector averiguar por sí mismo cuál es?
La respuesta la contaré a continuación, así que si prefiere averiguar la respuesta por sí mismo, evite leer las siguientes líneas hasta que lo consiga.
Lo cierto es que si el símbolo X juega correctamente la partida termina en empate o gana. Vamos a ver por qué. Si el símbolo X juega en la siguiente posición:

trqui3
El jugador con el símbolo O tiene una sola jugada con la cual conseguir un empate: el centro. Primero veamos qué sucede si O juega en alguno de los espacios que no es el centro, así el juego puede desarrollarse del siguiente modo:

 

triqui4

 

En este punto vemos que X tiene dos jugadas para ganar y O sólo puede cubrir una, por tanto X tiene la victoria asegurada. Es un trabajo instructivo ver las demás posiciones en las que X tiene la victoria asegurada y entender por qué permite obtenerla, cada posición tiene una jugada distinta pero todas aseguran la victoria con esta misma estrategia: es posible crear dos oportunidades de victoria y O sólo puede evitar una. ¿Qué sucede con el centro que hace posible asegurar el empate para O?

Si el lector decide jugar varias de las posibilidades se enterará que todas las estrategias ganadoras incluyen un uso esencial de al menos una de las diagonales y esto puede darle una comprensión de por qué si O juega en el centro siempre puede empatar.

Así hemos descubierto totalmente el juego del triqui, es decir la lista de reglas que definen el juego no esconden ya ningún secreto para nosotros. Podemos modificarle algunas reglas de modo que el concepto de triqui modificado pueda aún ofrecernos otros retos. Por ejemplo, en el triqui jugado en un tablero 4×4 el primer jugador siempre gana, es decir que si variamos sólo la segunda regla de nuestro juego, el primer jugador siempre va a ganar ¿cuál es la estrategia que hace esto posible?
Al adentrarse en estos juegos y las preguntas que pueden traer consigo el lector hace un poco de matemáticas. No es la matemática que hace un ingeniero, pero sí la matemática que está implicada en resolver un problema y comprender una situación bien establecida. El convencimiento sobre esta posición se obtiene practicando, así le propondré al lector un siguiente juego y de nuevo puede jugarlo con otro compañero. Cabe decir que este juego también será simple como el anterior y por tanto conocer la estrategia ganadora resulta en conocer todos los secretos del juego. No todos los juegos son tan simples, las matemáticas no lo son, ni el ajedrez tampoco, pero algunos juegos más complicados han sido resueltos en este sentido y lo discutiremos en la próxima ocasión.
Vamos a proponer entonces las reglas de este nuevo juego:
• El juego es para dos jugadores.
• Se jugará en una tablero de 8×8
• Para comenzar el juego, cada jugador tiene ocho fichas iguales organizadas en lados opuestos del tablero como se muestra a continuación:

triqui5
• Las blancas comienzan jugando.
• Cada jugador puede mover una sola ficha por turno, cuantas casillas quiera, hacia adelante
sin sobrepasar la ficha del adversario. No se puede retroceder.
• Gana el último jugador que pueda mover.
Como mencioné antes, este juego puede resolverse completamente y seguramente si dedican un poco de su tiempo a resolverlo sabrán que siempre hay una estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores, en este caso no hay empate. Al encontrarla y poderla explicar, ustedes habrán demostrado un teorema.

La simplicidad de estos juegos ha ayudado a que podamos comprender su comportamiento, pero difícilmente los juegos simples nos pueden dar una descripción precisa de cómo se comportan muchos fenómenos naturales. La ambición de las matemáticas fue alguna vez poder entender el lenguaje de los dioses y así comprender cuantos secretos en el cosmos se hallaban guardados, así que no se puede esperar que sea simple. En la próxima entrega discutiremos otros juegos y veremos que reglas simples pueden dar lugar a la complejidad.

 

*Matemático de la Universidad del Valle.