Una excursión en el Hotel de Hilbert

Hace poco más de un año hablé del hotel de Hilbert. Un hotel con infinitas habitaciones donde un botones ayudaba al gerente del hotel a acomodar tanto finitos como infinitos nuevos inquilinos. Al final de aquella publicación, propuse un problema…

 

Por Yotas Trejos*

“Imaginemos ahora que somos nosotros quienes manejamos un hotel muy popular con infinitas habitaciones. Un día nuestro hotel está lleno y llega una excursión con infinitos buses y cada bus con infinitos pasajeros, cada uno de los pasajeros está buscando posada. ¿Seremos capaces de ubicarlos a todos en nuestro hotel? ¿Cómo?”
¿Lo han pensado? Si aún quieren solucionar el problema por ustedes mismos, recomiendo no continuar leyendo. La solución que revelaré no sólo acomoda a todos los nuevos inquilinos y no desacomoda a los que ya han estado acomodados sino que deja el hotel con varias habitaciones libres. Esto es algo solo posible en un hotel como el de Hilbert, en el que ya ganando una cantidad infinita de dinero, pues todas las habitaciones están ocupadas y cobramos, podemos darle espacio a infinitos clientes más. Esta infinita cantidad de beneficio adicional, lo podemos usar para los gastos en la infinita comida, los infinitos jabones de baño y la gran cantidad de personal de aseo y botones.
El sustento de esta solución son propiedades de números primos que son usualmente enseñados en bachillerato. Recordemos que un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y el número 1, por razones de comodidad se solicita en esta definición que el número 1 no sea un número primo. Hay una cantidad infinita de números primos, este hecho es conocido desde Euclides y la justificación que dio razonaba por contradicción, esto es suponiendo que la tesis -en este caso que hay infinitos primos- era falsa y hallando una contradicción. La explicación de este razonamiento puede encontrarse en Gaussianos. Además, que todo entero puede escribirse de manera única, salvo el orden, como una multiplicación de números primos, este es llamado el teorema fundamental de la aritmética.
Con estos pocos conocimientos de números primos tenemos suficiente para acomodar a nuestros infinitos pasajeros. ¿Por qué? Notemos que los números 2, 2^2,… y por ejemplo 5,5^2,… son todos distintos y en general si para dos primos llamados p y q consideramos las listas p, p^2, p^3,… y q, q^2, q^3,… todos los números serán distintos, este comportamiento es debido al teorema fundamental de la aritmética. Entonces para cada primo hay una lista completamente ajena a los demás primos que consiste en todas sus potencias.
Para acomodar a los inquilinos que ya estaban en el hotel, podemos utilizar al primo 2 y sus potencias. De la siguiente manera, al primer inquilino le asignamos la habitación número 2 al inquilino que estaba en la habitación dos le asignamos la habitación 2^2, y en general al que ocupe la habitación n le entregaremos la habitación 2^n. Con esto hemos desocupados todas las habitaciones que no sean potencias de dos.
Ahora, nos sería útil un poquito de orden en los infinitos buses. Le asignamos el número 1 al primer bus, y dos al segundos y tres al tercero,… y así con todos. Del mismo modo a los pasajeros de los buses los enumeraremos por 1 al que esté en el primer asiento, por dos al que esté en el segundo, por tres al que esté en el tercero… De esta manera podemos decir saber cual es el pasajero que está en el bus número tres millones y es el pasajero número 4: primero identificamos el bus número tres millones y luego buscamos el asiento número 4. ¿Cómo los acomodaremos?
Al primer bus le asignaremos el segundo número primo, al segundo bus le asignaremos el tercer número primo, y en general al n-ésimo bus le asignamos el n+1-ésimo número primo. De este modo a cada pasajero le toca la habitación que tiene por número el número primo que le corresponde al bus elevado a la potencia de su asiento. Por ejemplo si el un pasajero está en el bus número 5 y se encuentre sentado en el asiento número 27, le corresponde la habitación 11^27 puesto que 11 es el número primo que tiene la quinta posición. Al hacer este proceso con todos los pasajeros, hemos acomodado a todos en el hotel de manera que a cada uno le corresponda una habitación y además ¡quedarán habitaciones vacías!  En realidad todo número que no sea potencia de un sólo primo no estará ocupada ¿por qué?
Estas propiedades que hemos obtenido ilustran el comportamiento del infinito más pequeño, el infinito que podemos contar, el infinito de los números naturales, hay infinitos, en realidad todos menos el de los naturales, que no podemos contar. Por ejemplo el conjunto de todas las sucesiones infinitas de 0 y 1 no lo podemos contar, pero esto será tema para otra ocasión. Será suficiente saber que si alguna vez nos llegan a nuestro hotel tanto huéspedes como sucesiones de 0 y 1 existen, por más que queramos no podremos acomodarlos a todos, pero podremos mostrar que no es posible.
Supongamos que tenemos una lista infinita de sucesiones infintas de ceros y unos, por ejemplo:
11110…

11011…

11110……

11000…

11011……

Gracias a la diagonal de esta lista, cuyos primeros tres términos son 0, 1, y 1 podremos construir un elemento que no está en la sucesión. Al primer elemento, el cero lo cambiamos por el 1, al segundo lo cambiamos por el 0, al tercer lo cambiamos por 0, así podemos obtener algo regular, si el n-ésimo es un 1 lo cambiamos por 0, si es un 0 lo cambiamos por un 1. Hemos construido una sucesión, que no es la primera sucesión porque no coincide en el primer término puesto que el primer término comienza en cero y la sucesión construida comienza en uno, no es la segunda sucesión porque no coinciden en el segundo término, en general, no es la n-ésima sucesión porque no coinciden en la n-ésima posición. Así esta sucesión no es ninguna de las que están en la lista. ¿Qué hemos probado? Que cada vez que tomemos una lista de sucesiones infinitas de ceros y unos, podremos encontrar una sucesión infinita que no esté en la lista, esto significa que contando jamás podremos tener todas las sucesiones de ceros y unos. Este argumento esconde que todas las sucesiones de ceros y unos forman un infinito más grande que el infinito de los números naturales. Nuesto hotel no puede albergar tanta gente.

*Estudiante de matemáticas Universidad de Antioquia