Advertencia: en esta ocasión quisiera solicitarles que se tomen el tiempo para no sólo leer el artículo sino para descubrir por sí mismos lo que propongo mostrarles y además pensar las preguntas que les haré.  En caso de tener poco tiempo tal vez sería conveniente dejar esta lectura para después, se corre el riesgo de no descubrir.

Por: Yotas Trejos

¡Traigan lápiz, papel,  pegante y tijeras!

El objeto que armaremos, cortaremos y uniremos es llamado la banda de Möbius. Esta bandita es una superficie y ahora sería un buen momento para que se pregunten ¿qué es una superficie? Recuerde que los ejemplos de superficie no son una definición, entonces no cuenta decir una mesa, el suelo o un balón de fútbol.  Atrapar qué es lo que hace que pensemos que todos estos objetos sean superficies respondería la pregunta.

Después de reflexionarlo un rato podremos llegar a varias conclusiones. Una de las más notorias es que podemos colocarnos de pie sobre una superficie imaginariamente, pero no podemos estar dentro de una superficie. No quiero  decir dentro como se puede estar dentro del interior de una esfera. La esfera en este caso es la superficie y limita un cierto espacio, se está en el espacio pero en la superficie. Qué no podamos estar dentro de una superficie es una muestra de que tenemos volumen y las superficies no. Así vemos que entonces una superficie nos recuerda cierta sensación de planitud.

Convenimos entonces que una superficie es un objeto que es localmente plano. Queriendo decir que podemos tomar trozos de él alrededor de cualquier ubicación y aplastarlos sin que se contraponga el trozo recortado a sí mismo.  Además el trozo cortado tiene área.

Esta definición es cercana a la de algo llamado variedad 2-dimensional. Es usual y cómodo imaginarse esta variedad como una superficie. A parte de las superficies familiares existen gran cantidad de superficies que son exóticas y fabulosas, esto hace que la definición sea valiosa. Abajo vemos varias fotos de unas pocas superficies exóticas.

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bianchi-pinkall_toriAhora veremos una forma en la que se obtienen ciertas superficies. Entre ellas la banda de Mobiüs. A este método se le llama identificación, en el caso particular, de un rectángulo. Este es un buen momento para usar tijeras y papel. Recortamos un objeto como el siguiente:1El largo y el ancho no importan mucho, pero el largo debe ser mayor que el ancho. Cuando tenemos el papel que identificaremos lo que realmente hacemos es pegar. Un primer ejemplo es identificar cada punto del lado izquierdo con el que tiene la misma altura en el lado derecho.

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Así las dos puntas señaladas están identificadas. Así como cada punto está identificado con el del otro lado de la misma altura, entonces esto se suele representar como

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¿Qué pasa si pegamos los puntos identificados?

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Obtenemos un cilindro. Puede que este ejemplo no sea tan sorprendente. ¿Qué pasa si identificamos de la misma manera también las bordes horizontales? Tendremos las siguientes flechas en el rectángulo:

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Entonces obtenemos primero un cilindro, pero luego debemos pegar también sus “tapas”. Al pegarlo tenemos una dona o como los matemáticos lo llaman, un toro. Esta figura es más difícil de hacer con un papel ordinario, puesto que es necesario estirar. Intentarlo con plastilina puede ser más cómodo.

Así nos damos cuenta que podemos construir superficies identificando ciertos puntos en un rectángulo. Es precisamente así como logramos construir y visualizar una banda de Möbius.

¿Cuál es la identificación necesaria para conseguir la banda de Möbius? Como dije antes se consigue del rectángulo, en este caso identificando sus bordes verticales. Pueden intentarlo… Se consigue identificando los puntos en direcciones contrarias. Me aclaro, trataremos como iguales un punto de unos de los bordes y el punto del otro borde que tiene intercambiados las distancias a las esquinas. De este modo los puntos que se muestran:6Están identificados. Esta identificación suele representarse así:

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¿Cómo unimos los trozos? Debemos darle una vuelta (un twist) y luego podremos pegar, así

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¡Esta es la banda de Mobiüs! Antes de proponerles un par de experimentos quisiera hacer un par de observaciones. ¿Qué creen que haría especial a este objeto? La pista principal es que consiste en un contraejemplo.

En la práctica lo que haremos será pegar ambos bordes de papel con un twist. Así tendremos nuestra propia banda de Möbius personal, bastante útil para comprender sus propiedades.

¿Cuántos lados tiene una superficie? Es lo primero que debemos observar. A primera vista, lo que solemos sospechar es que tienen dos. Una esfera tiene dos, un toro tiene dos. ¿Cómo distinguimos una cara de otra? 

Tal vez aquí pueda haber una confusión. No me refiero a las caras de un poliedro, sino a las dos posibles caras que podemos recorrer sin salirnos de la superficie si nos imaginamos parados sobre ella. Veamos un ejemplo, una hoja de papel, esta es una superficie que claramente tiene dos caras. Si nos imaginamos sobre la superficie, veremos que para pasar caminando de una cara a otra tendremos que cruzar una esquina. Para hacerlo más explícito usted puede imaginarse que es su dedo y recorre la hoja.

Otro ejemplo, es que para pasar de la cara externa de una esfera a la interior hay que romper la esfera. El cono funciona de manera parecida al plano y para pasar de una cara a otra hay que cruzar una esquina.

Pareciera entonces que muchas superficies tuvieran dos caras, pero resulta que no todas. Revisemos la banda de Mobiüs que construimos anteriormente con el truco de recorrer con el dedo la superficie. ¡Encontraremos que la banda de Mobiüs tiene una sola cara! 

Una vuelta en el centro, dos fuera del centro.

En el capítulo Aventura en dos dimensiones en Futurama el profesor Fransworth y Leela se disputan en una carrera el derecho a la mejor nave donde la pista es una banda de Möbius. Uno de los personajes secundarios hace un comentario: en la banda de Möbius una vuelta son dos vueltas.

A continuación les propongo un par de experimentos para convencerlos de este confuso comentario. También es una recomendación al capítulo que como varios otros en Futurama  tiene frecuentes menciones sobre rarezas matemáticas.

Para hacer el experimento deben tener lista al menos una banda de Möbius personal. Vamos a trazar una línea por el medio de un rectángulo que convertiremos en banda de Möbius así:

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Y convirtámosla en una banda de Möbius. ¿Cómo es la curva ahora obtenida?… Cerrada, esto es que el punto inicial es el mismo que el final. También, es una curva simple, esto es que no se intersecta.

Si cortáramos un cilindro por el medio o en realidad cualquier círculo paralelo a sus tapas ¿qué figura obtenemos?

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Tenemos dos cilindros. ¿Fácil no? En el caso de una esfera, ¿qué sucede?

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Tenemos dos tapas de una esfera ¿qué obtenemos si cortamos la banda de Möbius por la curva cerrada mencionada? Esto es algo que el lector debe intentar responderse…

Si se ha hecho bien el recorte, la figura obtenida será la siguiente:

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¿Por qué? Aún no nos adentraremos en esta pregunta. Sigamos recortando.

La línea paralela que pasa exactamente por el medio es la única que permite construir una curva cerrada en la banda de Möbius. Si nos movemos levemente hacia arriba o hacia abajo la curva obtenida no será cerrada. Sin embargo, si dibujamos dos líneas paralelas a la misma distancia de la línea central (la que cortamos anteriormente) , como sigue, obtendremos:

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Al construir la banda de Möbius ¿qué obtenemos? Si se ha medido bien tendremos una curva cerrada de nuevo. Pero esta curva tiene una particularidad, le da dos vueltas a la circunferencia del centro. Recortemos y veamos qué obtenemos.

Si hemos recortado bien tendremos la siguiente figura:

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De nuevo la pregunta ¿por qué? La respuesta la obtenemos de la identificación que hicimos antes.

Pregunta: ¿se dieron cuenta que mientras recortaban esta curva cerrada se recorría dos veces la banda de Möbius?

Al recortar por la mitad tendremos los dos trozos de papel identificados siguientes:

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Las distintas identificaciones se muestran en color ¿qué se obtiene al pegar? ¡La primera figura que recortamos! Esto debería responder por qué al recortar por la curva del centro obtuvimos dicha figura de “ocho”.

En nuestro segundo corte el papel queda recortado de la siguiente manera:

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De nuevos las distintas identificaciones se muestran en color. ¿qué obtenemos al pegar? Una banda de Möbius y la primera figura que obtuvimos.

Continuemos recortando.

La figura de ocho que obtuvimos aunque no lo parezca tiene dos caras. Compruébenlo ustedes mismos trazando con un lapicero ambas caras. Si continuamos y continuamos recortando ¿qué más obtendremos?

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Finalmente dejo el link de un video que muestra los resultados anteriores y uno más. ¿Qué fue lo que hizo en el último experimento?