Uno de estos entretenimientos en los que el cerebro es circo y espectador (a veces ayudado por un medio externo) ha dado mucho qué hacer a la humanidad y con ese qué hacer ha obtenido otros aparentemente más lejanos.

 Hotel de Hilbert

Por: Yotas

Una fuente de entretenimiento del ser humano es dada por el mismo cerebro, quiero decir, que el cerebro puede divertirse a sí mismo, evitar el aburrimiento. Vemos esta capacidad, por ejemplo, cuando nuestra cabeza parece un reproductor de música y “reproduce” una canción, cuando fantaseamos deseos imposibles o nos ponemos a recordar. Hay también entretenimientos un poco más complejos y que requieren de un medio exterior para ayudar al cerebro, o que al salir de él es cuando obtienen un valor, como cuando las fantasías se hacen complejas y para expresarlas es mejor escribirlas o pintarlas, o cuando tenemos un problema económico y hacemos cuentas en un papel para ayudar nuestra retentiva. En este último el cerebro se entretiene, aunque puede estar preocupado, está entretenido.

Uno de estos entretenimientos en los que el cerebro es circo y espectador (a veces ayudado por un medio externo) ha dado mucho qué hacer a la humanidad y con ese qué hacer ha obtenido otros aparentemente más lejanos. Me refiero, en este caso, a tomarnos en serio nuestras fantasías y ver hasta dónde –con algunas reglas tal vez– podemos desarrollarlo. Así se han obtenido novelas, arte, música y ciencia. Se me puede discutir el por qué incluyo a la ciencia como uno de los resultados de tomar fantasías seriamente, pero no lo discutiré aquí.

En cambio quiero contar sobre una de esas fantasías que nos hemos tomado en serio: al infinito. Aclarar en términos matemáticos lleva su tiempo y varios por menores, por tanto confiaré un poco más de lo que pueden intuir los lectores como infinito. Es común separar el infinito en dos clases, el potencial y el actual. Ambos pueden ejemplificarse imaginándonos (¿y cómo más?) una bolsa de dulces que nos plazca con una cantidad infinita de ellos. De la bolsa se pueden sacar tantos dulces como se quiera, es decir que si tienes una cantidad dada de dulces puedes obtener sacando de la bolsa uno más, a esta propiedad se le llama infinito potencial. A la cantidad de dulces total de la bolsa se le llama infinito actual. Cuando razonamos con el infinito suceden particularidades que al razonar con lo finito no suceden, estas particularidades ayudan a darnos cuente del comportamiento del infinito y a diferenciarlo de lo finito.

Imaginémonos un país con una cantidad infinita de personas y en ese país un hotel con una cantidad infinita de habitaciones enumeradas como 1,2,3,…. Este hotel es bastante popular por sus zonas turísticas aledañas y hoy tiene todas sus habitaciones ocupadas. Llegada la noche llega una persona solicitando una habitación, el encargado estuvo a punto de decirle que no había más cupo, pero un botones que estaba cerca en ese momento le sugirió al encargado que le pidiera a cada inquilino que pasara a la habitación siguiente. El encargado agradeció el consejo y así lo hizo. Entonces cada inquilino pasó a la habitación siguiente, el que estaba en la habitación uno pasó a la habitación dos, el que estaba en la segunda a la tercera, el de la tercera a la cuarta, el de la mil a la mil uno y así con todos los inquilinos. Al realizar estos cambios la primera habitación estará desocupada, todos los inquilinos ubicados y el recién llegado también podrá tener su habitación: la primera de ellas.

Pasada la noche, en la madrugada, llegó un bus con infinitos pasajeros buscando posada. El encargado se asustó y llamó al botones de la vez anterior que había obtenido fama por su ayuda. El botones pensó por un momento y tomando autoridad en el asunto pidió a cada uno de los inquilinos ya ubicados que pasaran a la habitación numerada con el doble de la suya. Entonces el inquilino número dos pasó a la habitación número cuatro, el de la tercera a la sexta, el de la mil a la dos mil, y así con todos. Al estar todos los inquilinos acomodados de esta manera, todas las habitaciones impares quedaron vacías ¿por qué? Pues el doble de cualquier número es par. Como de los impares hay infinitos, pudo acomodar el encargado a todos los nuevos visitantes, uno en cada impar.

Cuando dije que el infinito es una fantasía que nos tomamos en serio lo decía porque no hay un infinito (potencial o real) que podamos encontrar en la realidad. Pero razonando con infinitos se han obtenido grandes avances que sí se pueden ver en la realidad. Teorías como el electromagnetismo y la relatividad, que nos proveen de utilidades diariamente, no sólo se forman en modelos que requieren matemáticas sino que dichas matemáticas se hacen con razonamiento que emplean al infinito frecuentemente.

Aquel hotel del que les hablo fue inventado por Hilbert, un matemático alemán del siglo XX. Este hotel con infinitas habitaciones ejemplifica propiedades que un hotel con finitas habitaciones no tendría. Sin importar cómo reorganicemos (sin repetir cuarto) los inquilinos de un hotel con cien habitaciones lleno no podríamos darle posada a una persona más y el cargado deberá decirle que no hay habitaciones disponibles y que no es posible conseguirle una en ese hotel.

Imaginemos ahora que somos nosotros quienes manejamos un hotel muy popular con infinitas habitaciones. Un día nuestro hotel está lleno y llega una excursión con infinitos buses y cada bus con infinitos pasajeros, cada uno de los pasajeros está buscando posada. ¿Seremos capaces de ubicarlos a todos en nuestro hotel? ¿Cómo?