Una botella sin interior

Aprovechando el artículo “Una carrera en una banda de Möbius”, publicado hace algunos días, podremos comprender con mayor facilidad el concepto de botella de Klein.

Por Juan Camilo Betancur*

La topología es una rama de las matemáticas cuyo fin es estudiar losklein objetos y superficies desligándose de conceptos como tamaño y ángulo, pero enfocándose en otros, como continuidad y el número de agujeros que presenta un objeto. En esta disciplina está permitido transformar cualquier figura, siempre y cuando no se realicen cortes o quiebres en esta. En este sentido, para los topólogos no hay distinción entre un círculo y una elipse, o entre una esfera y un balón de rugby. Según se dice en internet (y como lo ilustra la figura), una broma común entre los topólogos es que “un topólogo es alguien incapaz de distinguir una taza de una rosquilla”.

Volviendo al tema inicial: Las botellas de Klein son superficies que poseen solamente un lado. Sí, un sólo 02lado, así como las bandas de Möbius. Si realizamos la tarea que nos proponen en el artículo anteriormente mencionado, el imaginar que caminamos por la extensión de la superficie, nos daremos cuenta de que… ¡Podemos llegar del exterior al interior (y viceversa, aunque no tiene ninguno de los dos, pues es en realidad una superficie) de nuestra botella sin necesidad de cambiar de lado, de cruzar por una esquina o quiebre. O para verlo de otra forma: Si nos planteamos la tarea de pintar toda la superficie con un color por cada cara, nos daremos cuenta de que a medida de que buscamos terminar de pintar la primera cara, habremos pintado la totalidad de la figura sin darnos cuenta.

¿Pero por qué menciono un artículo sobre la banda de Möbius cuando estoy hablando sobre botellas de Klein y no sobre dichas bandas?

Además de lo ya mencionado, el que ambas sólo posean un lado, existen más motivos para mencionarlos conjuntamente. Por ejemplo: El que a partir de una botella de Klein puedan construirse una o dos bandas de Möbius (dependiendo de cómo se haga), e igualmente en un sentido contrario, construir una botella de Klein a partir de una o dos bandas.

03

Si usamos nuestra imaginación y, nos volvemos un poco excéntricos (como diría uno de los profesores de matemáticas que he tenido), nos podríamos hacer la pregunta de qué pasaría si le realizamos un corte que divida en dos a nuestra botella en torno a su eje de simetría.

04

Veamos esta imagen: Nuestra botella de Klein ya está separada en dos mitades. Si dentro de nuestra cabeza intentamos desaparecer las curvas de cada una de las mitades y lo visualizamos, estaremos ante una imagen a la que tal vez estemos más acostrumbrados. Así es: Estaremos ante dos cintas de Möbius, una por cada mitad de la botella.

¿Y si el corte que hacemos no divide a nuestra botella en dos mitades?

https://www.youtube.com/watch?v=BQayK3xtN-8

O visto desde otra perspectiva, cuando intentamos juntar los lados de una cinta común y corriente, formamos un cilindro; cuando intentamos juntar los lados (el lado) de una cinta de Möbius, obtenemos una botella de Klein.

Si nos fijamos bien, nuestras botellas tienen una intersección. Esto es porque sólo pueden existir en un espacio de cuatro dimensiones, en donde se podría cruzar con ella misma sin necesidad de cortarse, atravesarse. Primero visualicemos esto con una lemniscata.

05

Observando la lemniscata, podremos notar que se corta consigo misma en un punto. Para eliminar este corte, lo único que tenemos que hacer es, simplemente, agregarle otra dimensión; lo que tendremos que hacer será “construir un puente” sobre el punto medio que atraviece una tercera dimensión, evitando así esta intersección. Para quien viva en el espacio bidimensional en el que está construida esta lemniscata, la sección que llevamos a esta tercera dimensión parecerá desvanecerse, pues sólo podría percibir lo que se encuentre en su mismo espacio. Algo similar pasa con la botella de Klein.

06

Para que la botella de Klein pueda existir como botella de Klein, debemos eliminar la intersección que tiene consigo misma y, como expliqué anteriormente utilizando el corte de la lemniscata, también tendremos que “construir un puente” agregando otra dimensión. Como tenemos que nuestra botella está representada en tres dimensiones, el puente deberá ser hecho en una cuarta dimensión. Y adivinen: Como somos seres que viven en un espacio de tres dimensiones, no podemos percibir una cuarta dimensión espacial. Por lo tanto, de la misma manera que la lemniscata a los hipotéticos seres bidimensionales, una botella de Klein tendría un puente a través de una cuarta dimensión que parecería desvanecerse, eliminando aquel corte en la botella. Así y sólo así, podremos tener una botella de Klein. El resto son meras representaciones en tres dimensiones.

07

Curiosidad: El físico y astrónomo Cliff Stoll vende botellas (y muchos otros artículos, como sombreros de Klein con su respectiva bufanda de Möbius) de Klein hechas de vidrio. Además, guarda 1000 botellas de Klein en el sótano de su casa.

https://www.youtube.com/watch?v=-k3mVnRlQLU

Algunos enlaces de interés:

Topología con cremalleras (Cintas de Möbius y botellas de Klein):
https://www.youtube.com/watch?v=fSZg_ywTDbo

Vídeo en el canal de YouTube sobre matemáticas Numberphile por parte de Cliff Stoll: https://www.youtube.com/watch?v=AAsICMPwGPY

“Cómo pegar su banda de Möbius en una botella de Klein en treinta sencillos pasos”: http://www.slideshare.net/alvarocassinelli/how-to-glue-your-mbius-strip-into-a-klein-bottle

Ciclismo sobre una botella de Klein:
https://www.youtube.com/watch?v=aTZBO8Ql6rc&feature=related

 

*Acerca del autor
Juan Camilo Betancur
Estudiante de ingeniería física
Universidad Tecnológica de Pereira